Question

4．已知函数f（x）=x³的图象为曲线C，给出以下四个命题：
①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中项是同一个常数；
③设函数g（x）=|f（x）-2sin2x|，则g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是1．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①若点M在曲线C上，过点M的切线斜率只有一个，所以过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条，故正确；
②函数f（x）=x³是奇函数，图象关于原点对称，所以对于曲线C上任意一点P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中项是同一个常数0，故正确；
③设函数g（x）=|f（x）-2sin2x|=|x³-2sin2x|是偶函数，且g（0）=0，则g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）³≤8a³，∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正确．
故选：C．

点评 本题考查曲线与方程，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．