Question

15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=1$，曲线N的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数）．若曲线M与N相交于A，B两点，则线段AB的长等于8．

Answer 1

分析 把极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程，把方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：曲线M的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=1$，展开为$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=1，∴x-y=1．
曲线N的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：y²=4x．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，化为y²-4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{2（{4}^{2}+4×4）}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了直线与抛物线的极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程、直线与抛物线成绩问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．