Question

10．若函数f（x）=x²|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围a≤0或a≥3．

Answer 1

分析 写出分段函数f（x），然后分别利用导函数在[0，2]上大于等于0求解a的取值范围．

解答 解：f（x）=x²|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}，x≥a}\\{-{x}^{3}+a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
当x≥a时，f（x）=x³-ax²，f′（x）=3x²-2ax，
要使f（x）在[0，2]上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤x}\\{3{x}^{2}-2ax≥0}\end{array}\right.$在[0，2]上恒成立，
由a≤x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
对于3x²-2ax≥0，即2ax≤3x²，x=0时对任意a都成立，当x∈（0，2]时，$a≤\frac{3}{2}x$在[0，2]上恒成立，得a≤0；
当x＜a时，f（x）=-x³+ax²，f′（x）=-3x²+2ax，
要使f（x）在[0，2]上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞x}\\{-3{x}^{2}+2ax≥0}\end{array}\right.$在[0，2]上恒成立，
由a＞x在[0，2]上恒成立，得a＞2；
对于-3x²+2ax≥0，x=0时对任意a都成立，当x∈（0，2]时，$a≥\frac{3}{2}x$在[0，2]上恒成立，得a≥3，
∴当x＜a时，满足f（x）在[0，2]上单调递增的a≥3．
综上，使函数f（x）=x²|x-a|在区间[0，2]上单调递增的实数a的取值范围是a≤0或a≥3．
故答案为：a≤0或a≥3．

点评 本题考查了函数单调性的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．