Question

5．已知函数f（x）=sin²x•g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）若A是f（x）图象上的一个最高点，B是g（x）图象上的最低点，试求|AB|的最小值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函数的图象和性质可得A，B两点的坐标，由两点间距离公式可求|AB|，由k₁，k₂∈Z，可得：|k₂-k₁+$\frac{1}{4}$|的最小值是$\frac{1}{4}$，即可求得|AB|的最小值；
（2）由三角函数中的恒等变换应用求得函数解析式f（x）+g（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z，可解得函数f（x）+g（x）的单调增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x，g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x，A是f（x）图象上的一个最高点，B是g（x）图象上的最低点，
∴A（k₁$π-\frac{π}{2}$，1），B（k₂π-$\frac{π}{4}$，$\frac{1}{2}$） k₁，k₂∈Z
|AB|=$\sqrt{{（k}_{2}π-\frac{π}{4}{-k}_{1}π+\frac{π}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}-1）^{2}}$
=$\sqrt{{（k}_{2}π{-k}_{1}π+\frac{π}{4}）^{2}+\frac{1}{4}}$
∵k₁，k₂∈Z
∴|k₂-k₁+$\frac{1}{4}$|的最小值是$\frac{1}{4}$，
∴|AB|_min=$\sqrt{（\frac{π}{4}）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{{π}^{2}+4}}{4}$．
（2）∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+1+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴由2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z，可解得：kπ$-\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴函数f（x）+g（x）的单调增区间是：[kπ$-\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，两点间距离公式的应用，属于基本知识的考查．