Question

16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形且满足$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，将已知等式的正弦转化成边，可得a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab．再用余弦定理可以算出C的余弦值，从而得到角C的值；
（2）化简$\frac{m}{tanC}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$，可得m=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}}$，从而由正弦函数的性质即可求得实数m的最小值．

解答 解：（1）由题得a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理得a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab．
∴余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$\frac{m}{tanC}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$，
∴$\frac{mcosC}{sinC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$，
即mcosC=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinB}$，有m=$\frac{2si{n}^{2}C}{sinAsin（\frac{2π}{3}-A）}$=$\frac{\frac{3}{2}}{sinA（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}}$，
∵C=$\frac{π}{3}$，A，B为锐角，可得：$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
∴m_min=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$=2．…（12分）

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的最值的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．