Question

6．已知f（x）=log₂（1+x⁴）-$\frac{1+mx}{1+{x}^{2}}$（x∈R）是偶数，求实常数m的值，并给出函数f（x）的单调区间（不要求证明）

Answer 1

分析 由偶函数的定义，取特殊值得关于m的方程f（-1）=f（1），解得m=0，最后检验所求出的值符合题意；

解答 解：由题意得：f（-1）=1-$\frac{1+m}{2}$，f（1）=1-$\frac{1+m}{2}$．
函数为偶函数，所以f（-1）=f（1），解得m=0．
检验：当m=0时，f（x）=log₂（1+x⁴）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，f（-x）=f（x）成立，函数为偶函数．
函数在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 考查了函数的单调性与奇偶性，同时考查了含有参数的不等式的求解，属于中档题．