Question

7．在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（n+2）log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列列{a_n}的公比为q，由于2a₁，a₃，3a₂成等差数列，可得2a₁+3a₂=2a₃．再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由b_n=（n+2）log₂a_n=（n+2）n，可得$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设数列列{a_n}的公比为q，
∵2a₁，a₃，3a₂成等差数列，
∴2a₁+3a₂=2a₃．
∴$2{a}_{1}+3{a}_{1}q=2{a}_{1}{q}^{2}$，
化为2q²-3q-2=0，
解得q=2或q=-$\frac{1}{2}$．
∵q＞0，∴q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=（n+2）log₂a_n=（n+2）n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（{n}^{2}+3n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．