Question

19．设数列{a_n}满足：
①a₁=1；
②所有项a_n∈N^*；
③1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜a_n+1＜…
设集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，将集合A_m中的元素的最大值记为b_m，即b_m是数列{a_n}中满足不等式a_n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b_n}为数{a_n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（Ⅰ）若数列{a_n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a_n}；
（Ⅱ）设a_n=3^n-1，求数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前30项之和；
（Ⅲ）若数列{a_n}的前n项和S_n =n²+c（其中c常数），求数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前m项和T_m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据伴随数列的定义直接可得答案；                                       
（Ⅱ）由${a}_{n}={3}^{n-1}≤m$，得n≤1+log₃m （m∈N^*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N^*）四种情况考虑即可；
（III）由题意和a_n与S_n的关系式求出a_n，代入a_n≤m得n的最大值为b_m，并求出伴随数列{b_m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b_m}的前m项和T_m．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，易得数列为1，4，7；                                               
（Ⅱ）由${a}_{n}={3}^{n-1}≤m$，得n≤1+log₃m （m∈N^*）
当1≤m≤2，m∈N^*时，b₁=b₂=1
当3≤m≤8，m∈N^*时，b₃=b₄=…=b₈=2
当9≤m≤26，m∈N^*时，b₉=b₁₀=…=b₂₆=3
当27≤m≤30，m∈N^*时，b₂₇=b₂₈=b₂₉=b₃₀=4
∴b₁+b₂+…+b₃₀=1×2+2×6+3×18+4×4=84；
（III）∵a₁=S₁=1+c=1，∴c=0；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）
由a_n=2n-1≤m得：$n≤\frac{m+1}{2}$  （m∈N^*）
因为使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，
所以b₁=b₂=1，b₃=b₄=2，…，b_2t-1=b_2t=t   （t∈N^*）
当m=2t-1  （t∈N^*）时：${T}_{m}=2•\frac{1+（t+1）}{2}•（t-1）+t$=t²=$\frac{1}{4}（m+1）^{2}$，
当m=2t  （t∈N^*）时：${T}_{m}=2•\frac{1+t}{2}•t$=t²+t=$\frac{1}{4}m（m+2）$
所以 ${T}_{m}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{（m+1）^{2}}{4}}&{（m=2t-1，t∈{N}^{*}）}\\{\frac{m（m+2）}{4}}&{（m=2t，t∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题．