Question

14．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求a_n的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知（${a}_{4}+\frac{5}{2}$）²=a₃a₁₁，从而可得公差$d=\frac{3}{2}$，所以${a}_{n}=\frac{3n-1}{2}$；
（Ⅱ）将b_n=$\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$列项为$\frac{4}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，求和即得T_n的值．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，
∵a₃，${a}_{4}+\frac{5}{2}$，a₁₁成等比数列，
∴（${a}_{4}+\frac{5}{2}$）²=a₃a₁₁，
∴$（\frac{7}{2}+3d）^{2}=（1+2d）（1+10d）$，即44d²-36d-45=0，
解得$d=\frac{3}{2}$或$d=-\frac{15}{22}$（舍去），
所以${a}_{n}=\frac{3n-1}{2}$；
（Ⅱ）因为b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{4}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
所以数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{4}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{2n}{3n+2}$．

点评 本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．