Question

4．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）
（1）写出曲线C的直角坐标方程
（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$，即可得出．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x即为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由△=16（sinα+cosα）²-16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．
∴t₁＜0，t₂＜0．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$，
由$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得$（α+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）$≤1，
∴|PM|+|PN|的取值范围是$（4，4\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．