Question

6．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据已知条件即可得到$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，所以${\overrightarrow{a}}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，从而求得cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据向量夹角的范围即可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$；
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$；
∴$1-1•\sqrt{2}•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．
故选B．

点评 考查非零向量垂直的充要条件，数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．