Question

17．若函数f（x）=x²+2a|x-2|，数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=f（n）．
（1）若数列{a_n}为递增数列，求实数a的取值范围；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，设数列{b_n}满足：b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，记{b_n}的前n项和T_n，求满足不等式T_n＞2015的最小整数n；
（3）当函数f（x）为偶函数时，对任意给定的k（k∈N*），是否存在自然数p，r（k＜p＜r）使$\frac{1}{{a}_{k}}$，$\frac{1}{{a}_{p}}$，$\frac{1}{{a}_{r}}$成等差数列？若不存在，说明理由；若存在，请找出p，r与k的一组关系式．

Answer 1

分析 （1）根据题意写出a_n的解析式，解不等式a₁＜a₂＜a₃即可；
（2）由$a=\frac{1}{2}$，解不等式$\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{40}{3}$＞2015即可；
（3）由题可得a_n=2n-1，分k=1、k≥2两种情况讨论讨论即可．

解答 解：（1）由题意得：S_n=f（n）=n²+2a|n-2|，
从而，有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+2a，}&{n=1}\\{3-2a，}&{n=2}\\{2n-1+2a，}&{n≥3}\end{array}\right.$，
当n≥3时，数列{a_n}显然递增，只要a₁＜a₂＜a₃即可，
所以有$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$；
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1，2}\\{2n，}&{n≥3}\end{array}\right.$，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1，2}\\{{4}^{n}，}&{n≥3}\end{array}\right.$，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，}&{n=1，2}\\{\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{40}{3}，}&{n≥3}\end{array}\right.$，
解不等式T_n＞2015，即$\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{40}{3}$＞2015，
可得n＞-1+log₄6085≈5.29，
所以，满足条件的最小整数为6；
（3）当f（x）为偶函数时，可得a=0，此时，f（x）=x²，
又a_n=f（n+1）-f（n），所以a_n=2n-1，
当k=1时，不存在满足条件的自然数p，r（k＜p＜r），
事实上，由$\frac{1}{{a}_{k}}$，$\frac{1}{{a}_{p}}$，$\frac{1}{{a}_{r}}$成等差数列，即$\frac{2}{2p-1}=1+\frac{1}{2r-1}$可得$r=\frac{1}{3-2p}$，
又由r＞p可得$p∈（1，\frac{3}{2}）$，矛盾； 
当k≥2时，存在无数组满足条件的自然数p，r（1＜p＜r）；
如k=2时，可找到p=3，r=8，使得$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{15}$成等差数列，
更一般地，对任意给定的k∈N^*（k≥2），设a_k=x，a_p=y，a_r=z，
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}$得$z=\frac{xy}{2x-y}$，令y=2x-1，z=xy=x（2x-1）即可，
此时取a_k=x=2k-1，
由a_p=y=2（2k-1）-1，得p=2k-1，
由a_r=z=x（2x-1）=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，可知r=4k²-5k+2，
即对任意给定的大于1的自然数k，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2，使$\frac{1}{{a}_{k}}$，$\frac{1}{{a}_{p}}$，$\frac{1}{{a}_{r}}$成等差数列．

点评 本题考查数列的单调性、求前n项和及等差数列的综合题，考查分析能力、计算能力和分类讨论的思想，属于难题．