Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x≥1}\\{\frac{1}{e}（x+2）（x-a），x＜1}\end{array}\right.$（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有二个公共点，则实数a的取值范围是$a=-3±2\sqrt{2}$或a≥$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数在点A（e，1）处的切线方程，然后把切线与该函数的图象恰好有二个公共点转化为
f（x）=$\frac{1}{e}（x+2）（x-a）$与y=$\frac{x}{e}$在x＜1时恰有一个交点，即g（x）=$\frac{1}{e}（x+2）（x-a）-\frac{x}{e}$=$\frac{1}{e}（{x}^{2}+x-ax-2a）$在x＜1时恰有一个零点，然后由方程x²-（a-1）x-2a=0恰有一个小于1的实数根列不等式（组）求解a的范围．

解答 解：由f（x）=lnx（x＞0），得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}$，
∴${f}^{′}（e）=\frac{1}{e}$，则函数f（x）的图象在点A（e，1）处的切线方程为y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即y=$\frac{x}{e}$．
要使切线与该函数的图象恰好有二个公共点，
则f（x）=$\frac{1}{e}（x+2）（x-a）$与y=$\frac{x}{e}$在x＜1时恰有一个交点，
令g（x）=$\frac{1}{e}（x+2）（x-a）-\frac{x}{e}$=$\frac{1}{e}（{x}^{2}+x-ax-2a）$，
即函数g（x）在x＜1时恰有一个零点，
则方程x²-（a-1）x-2a=0恰有一个小于1的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{2}＜1}\\{△=（a-1）^{2}+8a=0}\end{array}\right.$或f（1）=1-（a-1）-2a≤0．
解得：$a=-3±2\sqrt{2}$或a≥$\frac{2}{3}$．
故答案为：$a=-3±2\sqrt{2}$或a≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化、化归等思想方法，训练了函数零点的判断方法，是中高档题．