Question

8．设函数f（x）=|x-2|+2|x+1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）已知x₁，x₂∈R，求证：3f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）≤f（x₁）+2f（x₂）．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义，将函数表示为分段函数，利用图象即可求函数y=f（x）的最小值；
（2）由题意作图，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））；作线段AB的三等分点M，作MN垂直于x轴交图象于点N，从而写出M，N的坐标比较即可证明．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{x+4，-1≤x≤2}\\{3x，x＞2}\end{array}\right.$；
作出其图象如下，
；
故当x=-1时，函数有最小值y=-1+4=3；
（2）证明：作图如下，

设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））；
M是线段AB的三等分点，
则点M（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，$\frac{f（{x}_{1}）+2f（{x}_{2}）}{3}$）；
点N（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$））；
则由点M在点N的上方或与点M重合知，
$\frac{f（{x}_{1}）+2f（{x}_{2}）}{3}$≥f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$），
即3f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）≤f（x₁）+2f（x₂）．

点评 本题考查了学生作图与用图的能力，同时考查了绝对值函数的化简与应用，属于难题．