Question

3．已知点F是抛物线C₁：x²=4y的焦点，过抛物线上一点P，作抛物线的切线l，切点P在第一象限，如图，切线l与椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1相交于不同的两点A、B．
（1）若|FA|、|FP|、|FB|依次成等差数列，求直线l的方程；
（2）设定点M（0，$\frac{4}{3}$），求△MAB的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，设P（2t，t²），运用导数求得切线的斜率，得到切线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，再由等差数列的性质，结合抛物线和椭圆的定义，计算可得t的方程，解得t，即可得到切线方程；
（2）运用点到直线的距离公式和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可得到最大值．

解答 解：（1）点F的坐标为（0，1），
椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，即有c=1，e=$\frac{1}{2}$，
F（0，1）为椭圆的上焦点，
设P（2t，t²），由y′=$\frac{1}{2}$x，得切线的斜率为t，
从而切线l的方程为y=tx-t²，
直线l与椭圆方程联立，得（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0，
即有判别式△=36t⁶-4（3t²+4）（3t⁴-12）＞0，解得t²＜4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{6{t}^{3}}{3{t}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{4}-12}{3{t}^{2}+4}$，
即有y₁+y₂=t（x₁+x₂）-2t²=$\frac{6{t}^{4}}{3{t}^{2}+4}$-2t²=-$\frac{8{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$，
由|FA|、|FP|、|FB|依次成等差数列，
则2|FP|=|FA|+|FB|，
由抛物线的定义可得|FP|=t²+1，
由椭圆的定义可得|FA|=$\frac{1}{2}$（4-y₁），|FB|=$\frac{1}{2}$（4-y₂），
则有4-$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=2t²+2，
即有2+$\frac{4{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$=2t²，化简得3t⁴-t²-4=0，
解得t²=$\frac{4}{3}$，即有t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（负值舍去）．
即有直线l：y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4}{3}$；
（2）由（1）可得M（0，$\frac{4}{3}$）到切线l的距离为d=$\frac{|\frac{4}{3}+{t}^{2}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
弦长|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{t}^{6}}{（3{t}^{2}+4）^{2}}-\frac{4（3{t}^{4}-12）}{3{t}^{2}+4}}$
=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\frac{\sqrt{-48（{t}^{4}-3{t}^{2}-4）}}{3{t}^{2}+4}$，（t²＜4），
即有△MAB的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{-{t}^{4}+3{t}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{-（{t}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}}$
则当t²=$\frac{3}{2}$时，△MAB的面积取得最大值，且为$\frac{5}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查定义法解题，同时考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和弦长公式的运用，借助二次函数的性质解决最值问题，属于中档题．