Question

18．已知A，B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．
（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y²=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；
（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点，设直线AB方程为y=k（x-1），联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可求得A，B两点的纵坐标之积；
（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线和抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可求得弦长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
依题意，设直线AB方程为y=k（x-1），其中k≠0．
将$x=\frac{y^2}{4}$代入直线方程，得$y=k（\frac{y^2}{4}-1）$，
整理得ky²-4y-4k=0，
所以y_Ay_B=-4，即A，B两点的纵坐标之积为-4．
（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=kx+b\end{array}\right.$得k²x²+（2kb-4）x+b²=0．
由△=4k²b²+16-16kb-4k²b²=16-16kb＞0，得kb＜1．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{4-2kb}{k^2}$，${x_1}{x_2}=\frac{b^2}{k^2}$．
设AB中点坐标为（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2-kb}{k^2}$，${y_0}=k{x_0}+b=\frac{2}{k}$，
所以弦AB的垂直平分线方程为$y-\frac{2}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{2-kb}{k^2}）$，
令y=0，得$x=2+\frac{2-kb}{k^2}$．
由已知$2+\frac{2-kb}{k^2}=4$，即2k²=2-kb．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{4-2kb}{k^2}）}^2}-\frac{{4{b^2}}}{k^2}}$
=$4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{1-kb}{k^4}}$=$4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{2{k^2}-1}}{k^4}}$=$4\sqrt{\frac{{2{k^4}+{k^2}-1}}{k^4}}$=$4\sqrt{-{{（\frac{1}{k^2}）}^2}+\frac{1}{k^2}+2}$，
当$\frac{1}{k^2}=\frac{1}{2}$，即$k=±\sqrt{2}$时，|AB|的最大值为6．
当$k=\sqrt{2}$时，$b=-\sqrt{2}$；当$k=-\sqrt{2}$时，$b=\sqrt{2}$．均符合题意．
所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，结合二次函数的最值求法，属于中档题．