Question

8．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点K是C的准线l和x轴的交点，P在C上运动，则满足条件$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{FK}$+$\overrightarrow{FP}$的动点M的轨迹方程是y²=4（x+2）．

Answer 1

分析 由抛物线的方程求出其准线方程和焦点坐标，进一步得到K的坐标，设出M和P的坐标，由向量等式把P的坐标用M的坐标表示，代入抛物线方程得答案．

解答 解：如图，
由抛物线C：y²=4x，得2p=4，p=2，$\frac{p}{2}=1$，
∴其准线方程为x=-1，则K（-1，0），F（1，0），
设M（x，y），P（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{FM}=（x-1，y），\overrightarrow{FK}=（-2，0）$，$\overrightarrow{FP}=（{x}_{0}-1，{y}_{0}）$，
由$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{FK}$+$\overrightarrow{FP}$，得（x-1，y）=（-2，0）+（x₀-1，y₀）=（x₀-3，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1={x}_{0}-3}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x+2}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，
代入y²=4x，得y²=4（x+2）．
∴动点M的轨迹方程是y²=4（x+2）．
故答案为：y²=4（x+2）．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了向量的坐标运算，训练了代入法求轨迹方程，是中档题．