Question

20．已知函数f（x）=（e^x-a）²+（e^-x-a）²-6，x∈R．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在R上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）=（e^2x+e^-2x）-2a（e^x+e^-x）+2a²-6．设t=e^x+e^-x，t≥2，换元F（t）=t²-2at+2a²-8=（t-a）²+a²-8，t≥2，①当a≤2时，②当a＞2时，求出函数的最小值．
（2）函数的零点转化为F（t）=t²-2at+2a²-8=0，在t≥2有解，①当F（2）=2a²-4a-4≤0时，②当F（2）＞0时，求解实数a的取值范围即可．

解答 解：函数f（x）=（e^x-a）²+（e^-x-a）²-6
=（e^2x+e^-2x）-2a（e^x+e^-x）+2a²-6．
设t=e^x+e^-x，t≥2，
记F（t）=t²-2at+2a²-8=（t-a）²+a²-8，t≥2，
①当a≤2时，f（x）_min=F（t）_min=F（2）=2a²-4a-4．
②当a＞2时，f（x）_min=F（t）_min=F（a）=a²-8．
（2）F（t）=t²-2at+2a²-8=0，在t≥2有解，
①当F（2）=2a²-4a-4≤0时满足，解得1-$\sqrt{3}$≤a≤1+$\sqrt{3}$；
②当F（2）＞0时，必须当$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ a＞2\\ F（2）＞0\end{array}\right.$，解得$1+\sqrt{3}＜a≤2\sqrt{2}$，
综合，实数a的取值范围为：$1-\sqrt{3}＜a≤2\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的最值以及二次函数的性质，考查换元法函数的零点的求解，考查分析问题解决问题的能力．