Question

8．已知sin（α+$\frac{π}{6}$）-cosα=$\frac{1}{3}$，则2sinαcos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{5}{18}$．

Answer 1

分析 由题意和和差角公式可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，而2sinαcos（α+$\frac{π}{6}$）=cos（2α-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，由二倍角的余弦公式可得．

解答 解：∵sin（α+$\frac{π}{6}$）-cosα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα-cosα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα-$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∴2sinαcos（α+$\frac{π}{6}$）=2sinα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α-$\frac{1-cos2α}{2}$=cos（2α-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$
=1-2sin²（α-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$
故答案为：$\frac{5}{18}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和整体的思想，属中档题．