Question

3．已知函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x}$（x＞0），{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n≥2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄+…+（-1）^n-1a_na_n+1．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x}$（x＞0），{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n≥2．可得a_n=$\frac{2×\frac{1}{{a}_{n-1}}+3}{2×\frac{1}{{a}_{n-1}}}$=$\frac{3{a}_{n-1}+2}{2}$，变形为${a}_{n}+2=\frac{3}{2}（{a}_{n-1}+2）$，
利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（-1）^n-1a_na_n+1=（-1）^n-14$[（\frac{3}{2}）^{n}-1][（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$=$（-1）^{n-1}4（\frac{3}{2}）^{2n+1}-10（-1）^{n-1}×（\frac{3}{2}）^{n}$+4（-1）^n-1，分组利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x}$（x＞0），{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n≥2．
∴a_n=$\frac{2×\frac{1}{{a}_{n-1}}+3}{2×\frac{1}{{a}_{n-1}}}$=$\frac{3{a}_{n-1}+2}{2}$，变形为${a}_{n}+2=\frac{3}{2}（{a}_{n-1}+2）$，
∴数列{a_n+2}是等比数列，首项为3，公比为$\frac{3}{2}$，
∴a_n+2=$3×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=$3×（\frac{3}{2}）^{n-1}$-2=$2[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$．
（2）∵（-1）^n-1a_na_n+1=（-1）^n-14$[（\frac{3}{2}）^{n}-1][（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$=$（-1）^{n-1}4（\frac{3}{2}）^{2n+1}-10（-1）^{n-1}×（\frac{3}{2}）^{n}$+4（-1）^n-1，
∴S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄+…+（-1）^n-1a_na_n+1
=$4×[（\frac{3}{2}）^{3}-（\frac{3}{2}）^{5}+（\frac{3}{2}）^{7}+…+$$（-1）^{n-1}×（\frac{3}{2}）^{2n+1}]$-10$[（\frac{3}{2}）-（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{3}-（\frac{3}{2}）^{4}$+…+$（-1）^{n-1}×（\frac{3}{2}）^{n}]$+4[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]，
=$\frac{4×\frac{27}{8}[（-\frac{9}{4}）^{n}-1]}{-\frac{9}{4}-1}$-10×$\frac{\frac{3}{2}[（-\frac{3}{2}）^{n}-1]}{-\frac{3}{2}-1}$+4[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]，
当n为偶数时，S_n=$-\frac{54}{13}[（\frac{9}{4}）^{n}-1]$+$6[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$=$-\frac{54}{13}（\frac{9}{4}）^{n}+6×（\frac{3}{2}）^{n}$-$\frac{24}{13}$；
当n为奇数时，S_n=$\frac{54}{13}[（\frac{9}{4}）^{n}+1]$-$6[（\frac{3}{2}）^{n}+1]$+1=$\frac{54}{13}•（\frac{9}{4}）^{n}-6•（\frac{3}{2}）^{n}$-$\frac{11}{13}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“分组求和法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与几十年令，属于中档题．