Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}-6}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{3}$（p∈R），l与C相交于A，B两点
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程
（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程，再将曲线C的参数方程消去参数化为的普通方程；
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=x²-6化简后，由韦达定理求出中点M所对应的参数，再点M的直角坐标和极坐标．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，直线l的直角坐标方程是y=$\sqrt{3}$x，
则直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}-6}\end{array}\right.$得，曲线C的普通方程是y=x²-6；
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=x²-6得，${t}^{2}-2\sqrt{3}t-24=0$，
则△=12+4×24=108＞0，t₁+t₂=2$\sqrt{3}$，
所以$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=\sqrt{3}$，即中点M所对应的参数为$\sqrt{3}$，
所以点M的直角坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则点M的极坐标（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，以及点的直角坐标、极坐标间的互化，属于中档题．