Question

5．给出下列两个命题：命题p₁：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=4；命题p₂：函数y=ln$\frac{1-x}{1+x}$是偶函数．则下列命题是真命题的是（　　）

• A． p₁∧p₂
• B． p₁∧（￢p₂）
• C． （￢p₁）∨p₂
• D． （￢p₁）∨（￢p₂）

Answer 1

分析 对于命题p₁，通过条件及得到的结论，可以想到a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$时符合该命题，即存在满足条件的$a=\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$使得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=4，所以该命题为真命题．先求函数$y=ln\frac{1-x}{1+x}$的定义域，判断是否关于原点对称，然后将原函数的x换上-x便得到y=$ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}$，所以该函数为奇函数，所以该命题为假命题，然后根据命题￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系判断各选项命题的正误即可．

解答 解：$a=\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$时，符合条件，并能得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$；
∴命题p₁是真命题；
解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；
∴函数y=$ln\frac{1-x}{1+x}$的定义域为（-1，1）；
把函数中的x换上-x得到：$y=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}$；
∴该函数为奇函数；
∴命题p₂是假命题；
∴p₁∧p₂是假命题，￢p₂是真命题，p₁∧（￢p₂）是真命题，￢p₁是假命题，（￢p₁）∨p₂是假命题，（￢p₁）∧（￢p₂）是假命题．
故选B．

点评 考查真命题、假命题的概念，能够观察出a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$，奇函数、偶函数的定义及判定方法与过程，对数的运算，以及命题￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．