Question

16．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）分别写出C₁的普通方程，C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C₁的上、下顶点，点P为曲线C₂上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和平方关系求出曲线C₁的普通方程，由ρ²=x²+y²和题意求出C₂的直角坐标方程；
（2）法一：求出曲线C₂参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）²，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）²的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；
法二：设P点坐标为（x，y），则x²+y²=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）²，再求出（|PM|+|PN|）²的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．

解答 解：（1）因为曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
所以曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（2分）
由曲线C₂的极坐标方程为ρ=2得，
曲线C₂的普通方程为x²+y²=4；…（4分）
（2）法一：由曲线C₂：x²+y²=4，可得其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，
所以P点坐标为（2cosα，2sinα），
由题意可知M（0，$\sqrt{3}$），N（0，$-\sqrt{3}$）．
因此|PM|+|PN|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（2sinα-\sqrt{3}）^{2}}$$+\sqrt{{（2cosα）}^{2}+{（2sinα+\sqrt{3}）}^{2}}$
=$\sqrt{7-4\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{7+4\sqrt{3}sinα}$…（6分）
则（|PM|+|PN|）²=14+2$\sqrt{49-48si{n}^{2}α}$．
所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）²有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值为$2\sqrt{7}$．…（10分）
法二：设P点坐标为（x，y），则x²+y²=4，
由题意可知M（0，$\sqrt{3}$），N（0，$-\sqrt{3}$）．
因此|PM|+|PN|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+{（y+\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{7-2\sqrt{3}y}$+$\sqrt{7+2\sqrt{3}y}$…（6分）
则（|PM|+|PN|）²=14+2$\sqrt{49-12{y}^{2}}$．
所以当y=0时，（|PM|+|PN|）²有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值为$2\sqrt{7}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．