Question

6．设二次函数y=f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，且存在实数m使得f（m）=-a．
（Ⅰ）求证：（i）b≥0；（ii）f（m+3）＞0；
（Ⅱ）函数y=g（x）=f（x）+bx的图象与x轴的两个交点间的距离记为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）确定a＞0，c＜0，且a+c=-b，存在实数m使得f（m）=-a，即存在实数m，使am²+bm+c+a=0成立，利用△=b²-4a（a+c）≥0，即可证明b≥0；
（ii）证明$\frac{c}{a}＜m＜1$，$m+3＞3+\frac{c}{a}＞3-2=1$，即可证明f（m+3）＞0；
（Ⅱ）由（I）可知$-2＜\frac{c}{a}≤-1$，函数y=g（x）=f（x）+bx的图象与x轴必有两个交点，求出d，利用配方法，即可求d的取值范围．

解答 （ I）证明：（ i）因为f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，且a+c=-b，
因为存在实数m使得f（m）=-a，即存在实数m，使am²+bm+c+a=0成立，
所以△=b²-4a（a+c）≥0，即b²+4ab=b（4a+b）≥0---------（2分）
因为4a+b=3a+a+b=3a-c＞0，所以b≥0．-------------------（4分）
（ ii）由题意可知f（x）=0的两根为$1，\frac{c}{a}$，
所以可设$f（x）=a（{x-\frac{c}{a}}）（{x-1}）$，其中a＞0，$\frac{c}{a}＜0$，---------（5分）
因为f（m）=-a，所以$a（{m-\frac{c}{a}}）（{m-1}）=-a$，即$（{m-\frac{c}{a}}）（{m-1}）=-1＜0$
所以必有$\frac{c}{a}＜m＜1$，-------------------------（6分）
由于a+c=-b≤0，a＞0，c＜0，所以$\frac{c}{a}+1=-\frac{b}{a}≤0$，即$\frac{c}{a}≤-1$
又因为a＞b=-a-c，所以$\frac{c}{a}＞-2$，所以$-2＜\frac{c}{a}≤-1$-----------（7分）
所以$m+3＞3+\frac{c}{a}＞3-2=1$
所以f（m+3）＞f（1）=0，即f（m+3）＞0成立．----------（8分）．
（II）解：由（I）可知$-2＜\frac{c}{a}≤-1$，
因为y=g（x）=f（x）+bx=0?ax²+2bx+c=0，△=4b²-4ac=4（b²-ac）＞0，
所以函数y=g（x）=f（x）+bx的图象与x轴必有两个交点，
记为（x₁，0），（x₂，0），则d=|x₁-x₂|，${x_1}+{x_2}=-\frac{2b}{a}$，${x_1}•{x_2}=\frac{c}{a}$，
${d^2}={（{{x_2}-{x_1}}）^2}={（{{x_1}+{x_2}}）^2}-4{x_1}{x_2}$=${\frac{4b}{a^2}^2}-\frac{4c}{a}$=${\frac{4（a+c）}{a^2}^2}-\frac{4c}{a}$-------（10分）
=$4[{{{（{\frac{c}{a}}）}^2}+\frac{c}{a}+1}]$=$4[{{{（{\frac{c}{a}+\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]$（其中$-2＜\frac{c}{a}≤-1$）---------（12分）
所以4≤d²＜12，所以$2≤d＜2\sqrt{3}$------------------------------（14分）．

点评 本题考查不等式的证明，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．