Question

14．设n∈N^*，函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$，x∈（0，+∞），
（1）当n=1时，写出函数y=f（x）-1零点个数，并说明理由；
（2）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，且求出f（x）的定义域，分别令导函数大（小）于0列出关于x的不等式，求解即得函数的递增（减）区间，由最大值小于零及函数的图象可知函数不存在零点；
（2）同（1）分别求出函数f（x）的最大值与g（x）的最小值，根据题意，只需曲线$y=\frac{lnx}{{x}^{n}}$在直线l：y=1的下方，而曲线$y=\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$在直线l：y=1的上方即可．

解答 （1）证明：结论：函数y=f（x）-1不存在零点．
当n=1时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，求导得$f′（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

所以函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
则当x=e时，函数f（x）有最大值f（e）=$\frac{1}{e}$，
所以函数y=f（e）-1的最大值为f（e）-1=$\frac{1}{e}-1＜0$，
所以函数y=f（x）-1不存在零点；
（2）解：由函数$f（x）=\frac{lnx}{{x}^{n}}$求导，得$f′（x）=\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$，
令f′（x）=0，解得$x={e}^{\frac{1}{n}}$．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	（0，${e}^{\frac{1}{n}}$）	${e}^{\frac{1}{n}}$	（${e}^{\frac{1}{n}}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

所以函数f（x）在（0，${e}^{\frac{1}{n}}$）上单调递增，在（${e}^{\frac{1}{n}}$，+∞）上单调递减，
则当x=${e}^{\frac{1}{n}}$时，函数f（x）有最大值$f（{e}^{\frac{1}{n}}）=\frac{1}{ne}$；
由函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$，x∈（0，+∞）求导，得$g′（x）=\frac{{e}^{x}（x-n）}{{x}^{n+1}}$，
令g′（x）=0，解得x=n，
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：

x	（0，n）	n	（n，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↓		↑

所以函数g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增，
则当x=n时，函数g（x）有最小值g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$，
因为对任意的n∈N^*，函数f（x）有最大值$f（{e}^{\frac{1}{n}}）=\frac{1}{ne}＜1$，
所以曲线$y=\frac{lnx}{{x}^{n}}$在直线l：y=1的下方，而曲线$y=\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$在直线l：y=1的上方，
所以$（\frac{e}{n}）^{n}＞1$，解得n＜e，又n∈N^*，
所以n的取值集合为：{1，2}．

点评 此题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题．