Question

2．下列结论：
①若命题P：?x∈R，tanx＜x，命题q：?x∈R，lg²x+lgx+1＞0，则命题“p且￢q”是真命题；
②已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$；
③若随机变量ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，则$P（ξ=1）=\frac{3}{4}$，
④全市某次数学考试成绩ξ～N（95，σ²），P（ξ＞120）=a，P（70＜ξ＜95）=b，
则直线$ax+by+\frac{1}{2}=0$与圆x²+y²=2相切或相交．．
其中正确结论的序号是①④（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①先判定命题P是真命题，q是假命题，即可判定出命题“p且￢q”的真假；
②l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$或a=b=0，即可判断出正误；
③由$\left\{\begin{array}{l}{np=6}\\{np（1-p）=3}\end{array}\right.$，解得n=6，p=$\frac{1}{2}$，则P（ξ=1）=${∁}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}×\frac{1}{2}$，即可判断出正误；
④由正态分布的性质可得：2a+2b=1，利用基本不等式的性质可得2（a²+b²）≥（a+b）²=$\frac{1}{4}$，即${a}^{2}+{b}^{2}≥\frac{1}{8}$，圆心到直线的距离d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$$≤\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}$=$\sqrt{2}$，即可判断出位置关系．

解答 解：①若命题P：?x∈R，tanx＜x，是真命题；命题q：?x∈R，lg²x+lgx+1＞0，是假命题，则命题“p且￢q”是真命题，正确；
②已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$或a=b=0，因此不正确；
③若随机变量ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，则$\left\{\begin{array}{l}{np=6}\\{np（1-p）=3}\end{array}\right.$，解得n=6，p=$\frac{1}{2}$，则P（ξ=1）=${∁}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）^{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$，因此不正确；
④全市某次数学考试成绩ξ～N（95，σ²），P（ξ＞120）=a，P（70＜ξ＜95）=b，则2a+2b=1，∴2（a²+b²）≥（a+b）²=$\frac{1}{4}$，即${a}^{2}+{b}^{2}≥\frac{1}{8}$，
由直线$ax+by+\frac{1}{2}=0$与圆x²+y²=2，圆心到直线的距离d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$$≤\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}$=$\sqrt{2}$，因此相切或相交，是真命题．
故答案为：①④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的有关知识、直线与圆的位置关系判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．