Question

10．在极坐标系中，设直线θ=$\frac{π}{3}$与曲线ρ²-10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．

Answer 1

分析 方法一：将直线直线θ=$\frac{π}{3}$化为普通方程得，$y=\sqrt{3}$x，将曲线ρ²-10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x²+y²-10x+4=0，联立消去y得，2x²-5x+2=0，
利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．
方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ²-5ρ+4=0，解得ρ₁=1，ρ₂=4，利用中点坐标公式即可得出．

解答 解：方法一：将直线θ=$\frac{π}{3}$化为普通方程得，$y=\sqrt{3}$x，
将曲线ρ²-10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x²+y²-10x+4=0，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-10x+4=0}\end{array}\right.$并消去y得，2x²-5x+2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，
∴AB中点的横坐标为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，纵坐标为$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴$ρ=\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$
化为极坐标为$（\frac{5}{2}，\frac{π}{3}）$．
方法2：联立直线l与曲线C的方程组$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{3}}\\{{ρ}^{2}-10ρcosθ+4=0}\end{array}\right.$，
消去θ，得ρ²-5ρ+4=0，
解得ρ₁=1，ρ₂=4，
∴线段AB中点的极坐标为$（\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}，\frac{π}{3}）$，即$（\frac{5}{2}，\frac{π}{3}）$．

点评 本题考查了直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．