Question

19．已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=t|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则t的值为2．

Answer 1

分析 根据题目条件得出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|=t|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$²$+{\overrightarrow{b}}^{2}$=t²${\overrightarrow{a}}^{2}$，即$\overrightarrow{b}$²=（t²-1）$\overrightarrow{a}$²，t＞0
利用向量的夹角公式cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$，即可解得结论，即$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{2}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=t|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$²$+{\overrightarrow{b}}^{2}$=t²${\overrightarrow{a}}^{2}$，即$\overrightarrow{b}$²=（t²-1）$\overrightarrow{a}$²，t＞0
∴由向量的夹角公式cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{（2-{t}^{2}）{\overrightarrow{a}}^{2}}{{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{2}$，
即$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{2}$，t²=4，t=±2，t=-2（舍去），
故答案为：2．

点评 本题主要考查向量数量积的运算及夹角公式的应用，属于基础题．