Question

13．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（-1，0），下列结论：
①a-b+c=0；
②b²＞4ac；
③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④抛物线的对称轴为x=-$\frac{1}{4a}$．
其中结论正确的个数有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 将点（-1，0）代入y=ax²+bx+c，即可判断①正确；
将点（1，1）代入y=ax²+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a-b+c=0，两式相加，得a+c=$\frac{1}{2}$，两式相减，得b=$\frac{1}{2}$．由b²-4ac=$\frac{1}{4}$-4a（$\frac{1}{2}$-a）=$\frac{1}{4}$-2a+4a²=（2a-$\frac{1}{2}$）²，当a=$\frac{1}{4}$时，b²-4ac=0，即可判断②错误；
③由b²-4ac=（2a-$\frac{1}{2}$）²＞0，得出抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得-1•x=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2a}$-1，即x=1-$\frac{1}{2a}$，再由a＜0得出x＞1，即可判断③正确；
④根据抛物线的对称轴公式为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，即可判断④正确．

解答 解：①∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（-1，0），∴a-b+c=0，故①正确；
②∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a-b+c=0，
两式相加，得2（a+c）=1，a+c=$\frac{1}{2}$，
两式相减，得2b=1，b=$\frac{1}{2}$．
∵b²-4ac=$\frac{1}{4}$-4a（$\frac{1}{2}$-a）=$\frac{1}{4}$-2a+4a²=（2a-$\frac{1}{2}$）²，
当2a-$\frac{1}{2}$=0，即a=$\frac{1}{4}$时，b²-4ac=0，故②错误；
③当a＜0时，∵b²-4ac=（2a-$\frac{1}{2}$）²＞0，
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，
则-1•x=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2a}$-1，即x=1-$\frac{1}{2a}$，
∵a＜0，∴-$\frac{1}{2a}$＞0，
∴x=1-$\frac{1}{2a}$＞1，
即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；
④抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{4a}$，故④正确．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．