Question

9．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴建立坐标系，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$，（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=2．
（1）写出直线l及圆C的普通方程；
（2）设P（1，1），直线l与圆C相交于A，B，求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，可得直线l的普通方程．圆C的极坐标方程为ρ=2，直接求解可得圆C的普通方程．
（2）转化直线l的参数方程为标准参数方程的形式，代入圆C利用参数的几何意义求解即可．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$，消去参数t，
可得直线l的普通方程是$x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}-1=0$…（2分）．
圆C的极坐标方程为ρ=2，可得圆C的普通方程为x²+y²=4…（4分）
（2）直线l的参数方程可化为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t′\\ y=1+\frac{1}{2}t′\end{array}\right.$，（t′是参数）…（6分）
代入圆C：x²+y²=4中，整理得$t{′^2}+（\sqrt{3}+1）t′-2=0$，
${t_1}′+{t_2}′=-（\sqrt{3}+1）$，t₁′t₂′=-2…（8分）
∴$|{|{PA}|-|{PB}|}|=|{|{{t_1}′}|-|{{t_2}′}|}|=|{{t_1}′+{t_2}′}|=\sqrt{3}+1$…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，考查计算能力．