Question

19．已知a、b、c都是正数，求证：$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥a+b+c．

Answer 1

分析 运用不等式a²+b²≥2ab（当且仅当a=b取等号），借助累加法和不等式的传递性，即可得证．

解答 证明：由于a，b，c为互不相等的实数，
则a⁴+b⁴＞2a²b²，b⁴+c⁴＞2b²c²，c⁴+a⁴＞2c²a²，
相加可得，a⁴+b⁴+c⁴＞a²b²+b²c²+c²a²，①
又a²b²+b²c²＞2ab²c，b²c²+c²a²＞2bc²a，c²a²+a²b²＞2ca²b，
相加可得，a²b²+b²c²+c²a²＞ab²c+bc²a+ca²b=abc（a+b+c）．②
由①②可得，a⁴+b⁴+c⁴＞abc（a+b+c），
所以$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥a+b+c．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查累加法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．