Question

10．已知（1-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N，n＞4）若2a₂+a_n一3=0，则n=8．

Answer 1

分析 由二项展开式的通项公式T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-1）^rx^r，可得a_n=（-1）^r•${C}_{n}^{r}$，于是有2（-1）²${C}_{n}^{2}$+（-1）^n-3${C}_{n}^{3}$=0，由此可解得自然数n的值．

解答 解：由题意得，该二项展开式的通项公式T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-1）^rx^r，
∴其系数a_n=（-1）^r•${C}_{n}^{r}$，
∵2a₂+a_n-3=0，
∴2（-1）²${C}_{n}^{2}$+（-1）^n-3${C}_{n}^{3}$=0，
∴2×$\frac{n（n-1）}{2}$-$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$=0，
∴n-2=6．
∴n=8．
故答案为：8

点评 本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项展开式的通项公式得到系数a_n=（-1）^r•${C}_{n}^{r}$是关键，属于中档题．