Question

2．动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知定点A（-2，0），B（2，0），动点Q（4，t）在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M，N，F三点共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$，列出方程化简并整理，即可得到动点P（x，y）的轨迹C的方程．
（Ⅱ）当t=0时，说明M，N，F三点共线，当t≠0时得到$QA：y=\frac{t}{6}（x+2），QB：y=\frac{t}{2}（x-2）$，分别与椭圆联立方程组求解M、N的横坐标，通过共线的充要条件，证明即可．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$，
得$\frac{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}{|x-4|}=\frac{1}{2}$，…（2分）
化简并整理，得 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
所以动点P（x，y）的轨迹C的方程为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）当t=0时，点M与B重合，点N与A重合，M，N，F三点共线．…（7分）
当t≠0时
根据题意：$QA：y=\frac{t}{6}（x+2），QB：y=\frac{t}{2}（x-2）$
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{t}{6}（{x+2}）\end{array}\right.$
消元得：$3{x^2}+\frac{t^2}{9}{（x+2）^2}-12=0$
整理得：（t²+27）x²+4t²x+4t²-108=0
该方程有一根为x=-2，另一根为x_M，根据韦达定理，$-2{x_M}=\frac{{4{t^2}-108}}{{{t^2}+27}}，{x_M}=\frac{{54-2{t^2}}}{{{t^2}+27}}$
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{t}{2}（{x-2}）\end{array}\right.$
消元得：3x²+t²（x-2）²-12=0
整理得：（t²+3）x²-4t²x+4t²-12=0
该方程有一根为x=2，另一根为x_N，根据韦达定理，$2{x_N}=\frac{{4{t^2}-12}}{{{t^2}+3}}，{x_N}=\frac{{2{t^2}-6}}{{{t^2}+3}}$
当x_M=x_N时，由$\frac{{54-2{t^2}}}{{{t^2}+27}}=\frac{{2{t^2}-6}}{{{t^2}+3}}$
得：t²=9，x_M=x_N=1，M，N，F三点共线；
当x_M≠x_N时，${y_M}=\frac{t}{6}（{x_M}+2）=\frac{18t}{{{t^2}+27}}$，${y_N}=\frac{t}{2}（{x_N}-2）=\frac{-6t}{{{t^2}+3}}$${k_{MF}}=\frac{y_M}{{{x_M}-1}}=\frac{{\frac{18t}{{{t^2}+27}}}}{{\frac{{54-2{t^2}}}{{{t^2}+27}}-1}}=\frac{6t}{{9-{t^2}}}$；${k_{NF}}=\frac{y_N}{{{x_N}-1}}=\frac{{\frac{-6t}{{{t^2}+3}}}}{{\frac{{2{t^2}-6}}{{{t^2}+3}}-1}}=\frac{6t}{{9-{t^2}}}$k_MF=K_NF，M，N，F三点共线．
综上，命题恒成立．…（14分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三点共线的充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．