Question

20．求证：${（n+1）}^{\frac{1}{n+1}}$＜${n}^{\frac{1}{n}}$（n≥3）．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x≥3，确定f（x）在[3，+∞）上递减，可得f（x+1）＜f（x），x≥3，即可证明结论．

解答 证明：令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x≥3，则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在[3，+∞）上递减，
∴f（x+1）＜f（x），x≥3，
∴$\frac{ln（n+1）}{n+1}$＜$\frac{lnn}{n}$，n≥3，
∴${（n+1）}^{\frac{1}{n+1}}$＜${n}^{\frac{1}{n}}$（n≥3）．

点评 本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．