Question

20．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2πx-$\sqrt{3}$sin²πx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）设x∈[0，2]，求满足f（x）=-$\frac{1}{2}$的所有x值的和．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2πx+$\frac{π}{3}$），代值计算可得f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）由f（x）=-$\frac{1}{2}$可得x=k-$\frac{1}{4}$或x=k-$\frac{7}{12}$，再由x∈[0，2]可得x=$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{12}$，$\frac{7}{4}$，四个值相加即可．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin2πx-$\sqrt{3}$sin²πx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2πx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-2sin²πx）=$\frac{1}{2}$sin2πx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2πx
=cos$\frac{π}{3}$sin2πx+sin$\frac{π}{3}$cos2πx=sin（2πx+$\frac{π}{3}$）
∴f（$\frac{1}{3}$）=sin（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sinπ=0；
（2）由f（x）=sin（2πx+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$可得
2πx+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$或2πx+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得x=k-$\frac{1}{4}$或x=k-$\frac{7}{12}$，
又∵x∈[0，2]，∴x=$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{12}$，$\frac{7}{4}$，
∴满足f（x）=-$\frac{1}{2}$的所有x值的和为$\frac{5}{12}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{17}{12}$+$\frac{7}{4}$=$\frac{13}{3}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数公式的应用和求值，属中档题．