Question

13．设各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_2n}是等差数列，并写出其通项公式；
（2）确定a₁的值，使数列{a_n}为等差数列．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，可得a_n+1-a_n-1=2，n≥2，数列{a_n}的奇数项与偶数项均组成等差数列，即可证明数列{a_2n}是等差数列，并写出其通项公式；
（2）由（1）知，偶数项的公差为2，a₂=2，即可确定a₁的值，使数列{a_n}为等差数列．

解答 解：（1）∵2S_n=a_na_n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，2a₁=a₁a₂（n∈N^*），
∴a₂=2，
当n≥2时，S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1-$\frac{1}{2}$a_n-1a_n=a_n，
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，n≥2，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项均组成等差数列，
∴数列{a_2n}是等差数列，通项公式a_2n=2n；
（2）由（1）知，偶数项的公差为2，a₂=2，
∴a₁=1时，使数列{a_n}为等差数列．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系是解决本题的关键．