Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{kn+b}{{2}^{n}}$+k（n∈N^*）．
（Ⅰ）若k=0，b=1，求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若k=1，b=0，求证：当n≥3时，a_n＞3-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=0，b=1，利用叠乘法求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用数学归纳法进行证明．

解答 （Ⅰ）解：k=0，b=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴n≥2，a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1•$\frac{1}{2}$•…•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{\frac{n（1-n）}{2}}$，
n=1时，结论也成立，
∴a_n=${2}^{\frac{n（1-n）}{2}}$；
（Ⅱ）证明：k=1，b=0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$+1，∴a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{9}{4}$
n=3时，左边=$\frac{9}{4}$，右边=3-$\frac{4}{4}$=2，不等式成立；
设n=k时结论成立，即a_k＞3-$\frac{k+1}{{2}^{k-1}}$，
则n=k+1时，a_k+1＞（$\frac{k}{{2}^{k}}$+1）（3-$\frac{k+1}{{2}^{k-1}}$）=3-$\frac{k+1}{{2}^{k-1}}$+$\frac{3k}{{2}^{k}}$-$\frac{k（k+1）}{{2}^{2k-1}}$＞3-$\frac{k+2}{{2}^{k}}$，
综上可得，当n≥3时，a_n＞3-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，考查叠乘法，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．