Question

11．设三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+1的导函数为f′（x）=3ax（x-2），若a＞$\frac{1}{4}$，则函数y=f（x）的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据导数的公式求出a，b，c的关系以及函数的解析式，求函数的极值，根据极值和零点的关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+1，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c
又∵f′（x）=3ax（x-2）=3ax²-6ax，
∴2b=-6a，c=0，即b=-3a，c=0，
则f（x）=ax³-3ax²+1，
∵a＞$\frac{1}{4}$，
∴-4a+1＜0，
∴f（2）=8a-12a+1＜0，
又f（0）=1＞0，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑		↓		↑

画出示意图如右图，
故选：D．

点评 本题主要考查求函数零点的个数，求函数的导数，利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．