Question

6．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，{a_n}的部分项a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…，a${\;}_{{k}_{n}}$构成等比数列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k_n．

Answer 1

分析 通过数列中k₁=1，k₂=5，k₃=17时成等比数列，求出a₁与d的关系，然后求出数列的公比，然后利用a${\;}_{{k}_{n}}$的值求出k_n．

解答 解：设等比数列a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…，a${\;}_{{k}_{n}}$的公比为q，
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁•a₁₇=a₅² ，
即a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
得 a₁d=2d²
∵d≠0，
∴a₁=2d，q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=3，
∵a${\;}_{{k}_{n}}$=a₁+（k_n-1）d=（k_n+1）d，同时a${\;}_{{k}_{n}}$=a${\;}_{{k}_{1}}$•q^n-1=2d•3^n-1
a${\;}_{{k}_{n}}$=a${\;}_{{k}_{1}}$•q^n-1=2×3^n-1-1，
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N^*．

点评 本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式，属于基础题．