Question

17．如果实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5≥0}\\{3-x≥0}\\{x+2y+5≥0}\end{array}\right.$，表示的平面区域D，且圆C的方程为x²+y²=25，
（1）在圆C内部或边界上任取一点，求该点落在区域D内的概率．
（2）在圆C内部或边界上任取一整点（纵横坐标都是整数的点），求该整点落在区域D内的概率．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可求该点落在区域D内的概率．
（2）利用列举法求出对应的整点格式，利用古典概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，区域D在圆内，如图所示．设“在圆C内部或边界上任取一点，求点落在区域D内”为事件A，由于圆C的面积为25π，而区域D的面积为$\frac{1}{2}×8×8=32$，
由几何概型概率计算公式可得，在圆C内部或边界上任取一点，落在区域D内的概率P（A）=$\frac{32}{25π}$，
（Ⅱ）设“在圆C内部或边界上任取一整点，整点落在区域D内”为事件
B，由圆C的对称性，第一象限内及x轴正半轴上的整点有
（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（5，0），（4，0），（3，0），（2，0），（1，0），
共计20个，所以圆C内部或边界上整点共计20×4+1=81个，其中落在区域D内的整点在x轴上方的有
（-3，1），（-2，1），（-1，1），（-1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共计16个，
根据区域D关于x轴对称，故落在区域D内的整点有16×2+9=41个，
所以圆C内部或边界上任取一整点，整点落在区域D内的概率P（B）=$\frac{41}{81}$．

点评 本题主要考查概率的计算，要求熟练掌握几何概型和古典概型的概率的计算．