Question

9．已知，如图，抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点P（2，4），直线l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$交C于A、B两点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）求抛物线方程和及其准线方程．
（Ⅱ）已知点M（-2，5），直线MA、MF、MB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，求证：k₁、k₂、k₃成等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点P（2，4），代入解出p即可得出．进而点到抛物线准线方程．
（Ⅱ）直线l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$与x轴相交于点F，F（2，0）．M（-2，5），利用斜率计算公式可得：k₂．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程化为3x²-20x+12=0，再利用根与系数的关系、斜率计算公式证明．

解答 （Ⅰ）解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点P（2，4），
∴4²=2p×2，∴p=4，
∴抛物线的方程是y²=8x．
∴抛物线准线方程是x=-2．
（Ⅱ）证明：∵直线l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$与x轴相交于点F，
∴F（2，0）．
∵M（-2，5），
∴${k_2}=\frac{5-0}{-2-2}=-\frac{5}{4}$．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，得
3x²-20x+12=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{20}{3}$，x₁x₂=4．
∴${k_1}=\frac{{{y_1}-5}}{{{x_1}+2}}=\frac{{\sqrt{3}{x_1}-2\sqrt{3}-5}}{{{x_1}+2}}$，
k₃=$\frac{{y}_{2}-5}{{x}_{2}+2}$=$\frac{\sqrt{3}{x}_{2}-2\sqrt{3}-5}{{x}_{2}+2}$，
∴k₁+k₃=$\frac{（\sqrt{3}{x}_{1}-2\sqrt{3}-5）（{x}_{2}+2）+（{x}_{1}+2）（\sqrt{3}{x}_{2}-2\sqrt{3}-5）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$
=$\frac{{2\sqrt{3}{x_1}{x_2}-5（{x_1}+{x_2}）-8\sqrt{3}-20}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}$=$\frac{{2\sqrt{3}×4-\frac{20}{3}×5-8\sqrt{3}-20}}{{4+2×\frac{20}{3}+4}}$=$-\frac{5}{2}$，
∴k₁+k₃=2k₂．
∴k₁、k₂、k₃成等差数列．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．