Question

1．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中正确的序号是①②④．
①?x₀∈R，使f（x₀）=0；
②若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0；
③若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减；
④函数y=f（x）的图象是中心对称图形．

Answer 1

分析 ①判断函数的值域为R，即可．
②根据极值点的定义进行判断．
③根据三次函数的性质进行判断．
④根据三角函数的图象特点以及函数图象之间的关系进行判断．

解答 解：①∵函数f（x）的值域为R，∴?x₀∈R，使f（x₀）=0，故①正确；
②若x₀是f（x）的极值点，根据极值的定义和性质知f′（x₀）=0成立，故②正确；
③若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）必有极大值x=m，且m＜x₀，则函数f（x）在区间（m，x₀）上单调递减，故③错误；
④f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的对称中心是（x₀，y₀），
f（x）=x³+ax²+bx+c如果能写成f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的形式，那么三次函数的对称中心就是（x₀，f（x₀），
∴设f（x）=（x-x₀）³+p（x+m）+n，
得f（x）=ax³+3amx²+（3am²+p）x+am³+pm+n，
∴3am=b； 3am²+p=c； am³+pm+n=d；
∴m=$\frac{b}{3a}$，p=$\frac{3ac-{b}^{2}}{3a}$，n=d+$\frac{2{b}^{3}}{27{a}^{2}}-\frac{bc}{3a}$，
∴f（x）=a（x+$\frac{b}{3a}$）³+（c-$\frac{{b}^{2}}{3a}$）（x+$\frac{b}{3a}$）+d+$\frac{2{b}^{3}}{27{a}^{2}}-\frac{bc}{3a}$，
故函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形，故④正确．
故正确的是①②④，
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查导函数与极值的应用，要求熟练掌握三次函数的图象和性质，属于中档题