Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n=$\frac{3{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 构造b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$，证明数列{b_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求出其通项，即可求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：设b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$
∵a_n=$\frac{3{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2-2{a}_{n-1}}$
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$
∵a₁=3，
∴b₁=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴b_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查数列{a_n}的通项公式，考查构造法的运用，正确构造是关键．