Question

2．若直线y=kx-2与抛物线y²=3x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于${y}_{1}^{2}=3{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}=3{x}_{2}$．相减可得：$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}=3$，把$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=4k-4，代入解出k即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${y}_{1}^{2}=3{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}=3{x}_{2}$．
∴$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}=3$，
∵$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=4k-4，
∴k（4k-4）=3，
化为4k²-4k-3=0，
解得k=$\frac{3}{2}$或-$\frac{1}{2}$．
∴直线方程为：$y=\frac{3}{2}x-2$或$y=-\frac{1}{2}x-2$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．