Question

11．过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为3．

Answer 1

分析 由抛物线y²=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立可得：y²-4my-4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式：|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，解得m．再利用中点坐标公式即可得出．

解答 解：由抛物线y²=4x，可得焦点F（1，0），
若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．
设直线l的方程为：my=（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化为y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}+16）}$=8，
化为m²=1，
解得m=±1，
当m=1时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，因此$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3．
同理可得：m=-1时，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3．
∴线段AB中点的横坐标为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．