Question

19．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足f（x）＞0，xf′（x）-f（x）＜0，则对任意正数a，b，当a＞b时，下列不等式一定成立的是（　　）

• A． af（b）＜bf（a）
• B． bf（a）＜af（b）
• C． af（a）＜bf（b）
• D． bf（b）＜af（a）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求导，利用已知，判断其单调性，利用单调性判断a，b的函数值大小，得到答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
F'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[xf′（x）-f（x）]，
∵xf′（x）-f（x）＜0 所以 F'（x）＜0 即F（x）是减函数，即当a＞b＞0时，F（a）＜F（b）所以$\frac{f（a）}{a}＜\frac{f（b）}{b}$，从而af（b）＞bf（a）；
故选：B

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，解题时要认真审题，注意导数的合理运用