Question

9．平面内有n（n∈N^*，n≥2）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）=$\frac{n（n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．

解答 证明：（1）当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f（2）=$\frac{1}{2}$×2×（2-1）=1，
∴当n=2时，命题成立．
（2）假设n=k∈N^*，且（k＞2）时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f（k）=$\frac{1}{2}$k（k-1），
那么，当n=k+1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f（k）=$\frac{1}{2}$k（k-1），l与其他k条直线交点个数为k，从而k+1条直线共有f（k）+k个交点，
即f（k+1）=f（k）+k=$\frac{1}{2}$k（k-1）+k=$\frac{1}{2}$k（k-1+2）=$\frac{1}{2}$k（k+1）=$\frac{1}{2}$（k+1）[（k+1）-1]，
这表明，当n=k+1时，命题成立．
由（1）、（2）可知，对n∈N^*（n≥2）命题都成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，证明n=k+1时结论成立是关键．