Question

6．已知函数f（x）=x³-ax²-x+b，若x=2处取得极小值2．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数的极值，建立方程关系即可求a，b的值；
（2）求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=3x²-2ax-1-------1
∵x=2处取得极小值2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12-4a-1=0}\\{f（2）=8-4a-2+b=2}\end{array}\right.$-------2
∴a=$\frac{11}{4}$，b=7------1
（2）由（1）知，f（x）=x³-$\frac{11}{4}$x²-x+7，
∴f′（x）=3x²-$\frac{11}{2}$x-1------1
令f′（x）＜0，--------1
即6x²-11x-2＜0，
（x-2）（6x+1）＜0，
得$-\frac{1}{6}$＜x＜2，
∴单调减区间为（$-\frac{1}{6}$，2）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数的极值，函数单调性之间的关系建立方程关系是解决本题的关键．