Question

11．已知函数f（x）=ax³+3x²-4x （ 其中实数a＜0 ）
（1）若y=f（x）在（-∞，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，求a的值．
（2）设g（x）=f （x）-ax²，当a=-3时，判断函数y=g （x）在R上的单调性，并说明理由．
（3）若对任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，都有不等式f（x₂）-f（x₁）＜a （x₂²-x₁²） 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3ax²+6x-4，由f′（1）=0，解得a并验证满足条件．
（2）由题设可知，当a=-3时，g（x）=-3x³+6x²-4x，g′（x）=-（3x-2）²≤0，对任意x∈R恒成立，即可得出单调性．
（3）利用（2）中记号：g（x）=f（x）-ax²=ax³+（3-a）x²-4x，由于对任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）＜a（x²₂-x²₁）恒成立
?对任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有$f（{x_2}）-ax_2^2＜f（{x_1}）-ax_1^2$恒成立?在[-1，$\frac{1}{2}$]上y=g（x）单调递减?g′（x）=3ax²+2（3-a）x-4≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．对a分类讨论，利用二次函数的单调性、导数与单调性的关系即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+6x-4，∵f′（1）=0，即3a+6-4=0，解得$a=-\frac{2}{3}$，经过验证满足条件．
（2）由题设可知，当a=-3时，g（x）=-3x³+6x²-4x，g′（x）=-（3x-2）²≤0，对任意x∈R恒成立，
∴函数y=g（x）在R上的单调递减．
（3）利用（2）中记号：g（x）=f（x）-ax²=ax³+（3-a）x²-4x，
∵对任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）＜a（x²₂-x²₁）恒成立
?对任意x₁，x₂∈[-1，$\frac{1}{2}$]且x₁＜x₂，有$f（{x_2}）-ax_2^2＜f（{x_1}）-ax_1^2$恒成立
?在[-1，$\frac{1}{2}$]上y=g（x）单调递减?g′（x）=3ax²+2（3-a）x-4≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．
∵a＜0，且$g'（x）=3a（x-\frac{2}{3}）（x+\frac{2}{a}）$的图象是开口向下的抛物线．而$\frac{2}{3}$-（$-\frac{2}{a}$）=$\frac{2（a+3）}{3a}$，
可分类讨论如下：
①当a＜-3时，有$\frac{2}{3}$＞$-\frac{2}{a}$．此时由y=g′（x）的图象可知，当$\frac{1}{2}$≤$-\frac{2}{a}$时，有g′（x）≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
解得-4≤a＜-3．
②当a=-3时，由（2）可知，有g′（x）≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．
③当-3＜a＜0时，有$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜$-\frac{2}{a}$．显然有g′（x）≤0在[-1，$\frac{1}{2}$]上恒成立．
综上所述，所求的实数a的取值范围是[-4，0）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．