Question

19．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （$\sqrt{3}$，2）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 确定M，F₁，F₂的坐标，进而由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．

解答 解：设直线方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）联立，
可得交点坐标为P（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\frac{3C}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
由题意可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，即$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4}$＜0，
化简可得b²＜3a²，即c²-a²＜3a²，
故可得c²＜4a²，c＜2a，可得e=$\frac{c}{a}$＜2，
∵e＞1，∴1＜e＜2
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属中档题．